SS 2005 - Lösungen der Musterprüfung 7. Juni 2005

Ingenieurmathematik Musterprüfung 7.Juni2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wie erhält man bei einer x-y-Grafik schwarze diagonale Kreuzchen bei den Kurvenpunkten?

L:

plot(x,y,'kx')

1b)

Wie nennt man das spezielle Lösungsverfahren eines linearen Gleichungssystems der Form $R\cdot x = b$ wenn bekannt ist, dass es sich bei $R$ um eine Rechts-Dreiecksmatrix handelt?

L:

Rückwärts-Einsetzen

1c)

Für welche Elemente einer quadratischen Matrix, für welche $A^T = -A$ gilt, sind durch diese Bedingung die Zahlenwerte festgelegt?

L:

Die Diagonalelemente müssen alle Null sein.

1d)

Wie bestimmt man den symmetrischen und den antisymmetrischen Teil einer gegebenen Matrix M = A+S? (d.h. wie berechnet man A und S?)

L:

S = 0.5*(M+M') ; A = 0.5*(M-M')

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrr} 0 & a_3 & 0 & a_1 \\ 0 & 0 & 0& 0 ... ... c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right) \cdot Pr }$$

L2

$${ Pl = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0... ...& 1 \\ 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }$$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine falsche Dreiecksmatrix (links und oben verschieden von Null), von der linken oberen Ecke her bis und mit der falschen (bzw. Anti-) Diagonalen (die von links unten nach rechts oben läuft) mit Einsen füllt und den Rest Null lässt.

L3)

F= zeros(n);
for zei = 1:n
  for spa = 1:(n+1-zei)
    F(zei,spa) = 1;
  end
end

4)

Welche Werte müssen die Parameter $a$, $b$ und $c$ annehmen, damit die nebenstehende Matrix orthogonal ist?

 

$${ \left( \begin{array}{rrrr} \sqrt{3}/2 & a & 0 & 0 \\ b & \sqrt{3}/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{array}\right)}$$

L4)

Orthogonal: $M^T * M = I$ , Multiplikation von Hand und 0 bzw 1 setzen ergibt:
a=1/2 b=-1/2 oder a=-1/2 b=1/2 und c=1 oder c=-1

5)

Bestimmen Sie je die Projektion des Vektors [3 4 3.75]' auf die drei Grundvektoren
[1 1 0]', [-1 1 0 ]' und [0 0 1]', sowie je die Winkel zwischen den Vektorpaaren.

5L)

p1= [3.5 3.5 0]' , p2 = [-0.5 0.5 0]' , p3 = [0 0 3.75]
w1 = 37.63$^{\mathrm{o}}$, w2 = 83.504$^{\mathrm{o}}$, w3 = 53.13$^{\mathrm{o}}$

6)

Suchen Sie die Darstellung der Schraubenlinie mit Achse entlang der y-Achse, welche durch die Punkte (0/0/8) und (8/1/0) geht, und geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.

L6)

Viertelkreis Vorschub 1, also gesamter Vorschub 4 pro Umgang.

w = 0:0.1:8*pi;
z = 8*cos(w);
x = 8*sin(w);
z = w/(2*pi)*4
plot3(x,y,z)